Winkel

Beim MedAT werden Winkel zum Thema Vektorrechnung selten gefragt. Dennoch schadet es nicht, die Grundsätze davon zu verstehen. Bedenke dabei, dass du beim MedAT keinen Taschenrechner verwenden darfst, weshalb komplexe Rechnungen nicht Teil deiner Vorbereitung sein sollten.

Grundlegende Begriffe

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigt man das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt, auch bekannt als inneres Produkt, ist ein Maß für die Projektion eines Vektors auf einen anderen. Es liefert uns demnach eine wichtige Information über die Beziehung zwischen den Vektoren.

Formel:
Für die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ berechnet sich das Skalarprodukt wie folgt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Der Winkel $\theta$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kann man mit der cos-Winkelfunktion berechnen, da die in Beziehung stehenden Vektoren einen Winkel einschließen:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Tipp: Der obere Teil der Formel entspricht hierbei dem Skalarprodukt. Beim Nenner müssen die Striche beachtet werden, die den Betrag kennzeichnen.

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Berechne das Skalarprodukt und die Beträge. Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Zuerst berechnen wir das Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ $= 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1$ $= 8 + 3 = 11$

Als nächstes berechnen wir die Beträge der Vektoren: 

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2}$ $= \sqrt{16 + 9}$ $= \sqrt{25}$ $= 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2}$ $= \sqrt{4 + 1}$ $= \sqrt{5}$

Nun setzen wir die Werte in die Formel ein: 

$\cos(\theta)$ $= \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}}$

Unser Mathe-Insider-Tipp für deinen MedAT

Insider-Tipp von Benjamin (MasterClass-Tutor)

Beim MedAT ist es entscheidend, das Konzept des Skalarprodukts und die damit verbundene Berechnung von Winkeln zu verstehen. Komplexe Rechnungen sind unserer Meinung nach beim Üben nicht zu empfehlen. Du solltest die Formeln und Zusammenhänge dennoch im Kopf haben. Für eine gezielte Vorbereitung und weitere nützliche Tipps empfehlen wir dir unsere E-Learning-Plattform MEDBREAKER ONE. Dort…