Einheits­vektor

Einheitsvektoren sind für angehende Medizinstudierende, die sich auf den MedAT vorbereiten, von großer Bedeutung. Denn sie sind leicht zu verstehen und liefern daher wertvolle Punkte beim MedAT.

Grundlegende Begriffe

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge (Betrag) genau 1 ist. Ein Vektor $\vec{v}$ kann in einen Einheitsvektor umgewandelt werden, indem man ihn durch seine eigene Länge teilt.

Formel:

Wenn $\vec{v}$ ein Vektor ist, dann ist der Einheitsvektor $\vec{e}$ gegeben durch:

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Dabei ist $|\vec{v}|$ die Länge des Vektors $\vec{v}$, die mit der Formel

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

berechnet wird, wobei $x$ und $y$ die Komponenten des Vektors sind.

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Nehmen wir an, wir haben den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Wie lautet sein Einheitsvektor?

Zuerst berechnen wir die Länge (den Betrag) des Vektors: 

$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2}$ $= \sqrt{9 + 16}$ $= \sqrt{25}$ $= 5$

Nun berechnen wir den Einheitsvektor $\vec{e}$:

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ $= \frac{(3, 4)}{5}$ $= \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$

Der Einheitsvektor $\vec{e}$ ist also $\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$.

Beispiel: Gegeben ist der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 24 \end{pmatrix}$. Berechne die Länge des Einheitsvektors.

Hier kann man sich natürlich sehr viel Zeit sparen, wenn man vorab schon weiß, dass der Einheitsvektor immer genau eine Länge von 1 besitzt.

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