Mathematik / Funktionen

Potenzfunktion

Benjamin Haidinger
11 min (55 Sek./Aufgabe) 12 Aufgaben Anteil: 5,1 % BMS
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Potenzfunktionen sind aus der Mathematik nicht wegzudenken und spielen auch beim MedAT eine wichtige Rolle. Deshalb ist das Verständnis dieser Funktionen essentiell. Hier bekommst du eine kompakte Einführung und einige wichtige Tipps.

Grundlegende Begriffe

Eine Potenzfunktion hat die allgemeine Form $f(x) = a \cdot x^n$, wobei $a$ und $n$ variable Parameter sind. Die Basis $x$ wird durch den Exponenten $n$ potenziert und mit dem Parameter $a$ multipliziert.

Eigenschaften:

  • Ganzzahliger Exponent: Bei positiven ganzen Zahlen ergeben sich typische Kurvenverläufe, die mit höherem Exponenten steiler werden.
  • Unganzzahliger Exponent: Unganzzahlige Exponenten führen zu Wurzelfunktionen, beispielsweise $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ entspricht der Quadratwurzel.
  • Positiver Exponent: Positive Exponenten erzeugen wachsende Kurven, die bei höheren Werten von $x$ schneller steigen.
  • Negativer Exponent: Negative Exponenten führen zu Funktionen, die nicht in jedem Punkt definiert sind. Beispiel: $f(x) = \frac{1}{x^n} = x^{-n}$​.
  • Gerader Exponent: Funktionen mit geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse und haben einen parabelförmigen Verlauf.
  • Ungerader Exponent: Funktionen mit ungeraden Exponenten verlaufen punktsymmetrisch zum Ursprung. 

Rechenregeln und Umformen:

  • Potenzgesetze wie $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ und $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ sind nützlich.
  • Umformen hilft beim Lösen von Gleichungen und Umstellen von Formeln.

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Wie sieht eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten im Vergleich zu einer Funktion mit ungeradem Exponenten aus? Zeichne die entsprechende Funktion und überlege, warum die Funktion graphisch so aussieht.

Hier ist die dazugehörige Lösung:

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