Logarithmus und Logarithmusfunktion

Logarithmen werden verwendet, um komplexe Berechnungen zu vereinfachen, wie z.B. das Berechnen von pH-Werten in der Chemie oder das Bestimmen von Wachstumsraten in der Biologie. Ein solides Verständnis der Logarithmus-Funktion erleichtert viele mathematische Aufgaben und ist daher unverzichtbar.

Grundlegende Begriffe

Der Logarithmus $\log_b(x)$ gibt an, zu welcher Potenz die Basis $b$ erhoben werden muss, um $x$ zu erhalten. Die Logarithmus-Funktion entspricht also der Umkehrung der Exponentialfunktion, wie es auf der Abbildung auch noch einmal erkennbar ist. Die häufigsten Logarithmen sind der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ mit der Basis $e$ und der dekadische Logarithmus $\log_{10}(x)$.

Wichtige Rechenregeln umfassen:

• Produktregel: $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$
• Quotientenregel: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) \; – \; \log_b(y)$
• Potenzregel: $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$

Beim Differenzieren (Ableiten) lautet die Regel für den natürlichen Logarithmus folgendermaßen: $\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Betrachten wir die Gleichung $\ln(x) = 3$. Um $x$ zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:

1. Exponentiell umformen:

$e^{\ln(x)} = e^3$

2. Vereinfachen:

$x = e^3$

Dieses Beispiel zeigt, wie man durch Umformen von Logarithmen Lösungen findet.

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