Integral

Die Integralrechnung ist ein grundlegendes Konzept der Mathematik und spielt auch beim MedAT eine wichtige Rolle. Erfahre hier mehr zum Thema Integral und Funktionen.

Grundlegende Begriffe

Bei der Integralrechnung geht es um die Bestimmung der Fläche unter einer Kurve.

Begriffsdefinitionen:

• Bestimmtes Integral: Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x) \, dx$ berechnet die Fläche unter der Kurve $f(x)$ von $x = a$ und $x = b$.
• Unbestimmtes Integral: Das unbestimmte Integral $\int f(x) \, dx$ ergibt die Stammfunktion $F(x)$ plus eine Konstante $C$.

Umkehrung:

• Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung. Wenn $F(x)$ die Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann gilt $F′(x)=f(x)$.

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Betrachten wir die Funktion $f(x) = \sin(x)$. Das unbestimmte Integral von $\sin(x)$ ist:

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

Beispiel: Berechne das Integral der Funktion $f(x) = 3x^2 + 2x$ im Bereich von $x=1$ bis $x=4$:

1. Stammfunktion bestimmen:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x) \, dx$ $= x^3 + x^2 + C$

2. Bestimmtes Integral berechnen:

$\int_{1}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx$ $= F(4) \; – \; F(1)$

3. Funktionswerte berechnen: Setze die Werte für $x = 4$ und $x = 1$ in die Stammfunktion $F(x)$ ein.

$F(4) = 4^3 + 4^2$ $= 64 + 16$ $= 80$

$F(1) = 1^3 + 1^2$ $= 1 + 1$ $= 2$

4. Ergebnis:

$\int_{1}^{4} (3x^2 + 2x) \, dx$ $= 80 \; – \; 2$ $= 78$

5. Antwort: Das Integral der Funktion $f(x) = 3x^2 + 2x$ im Bereich von $x=1$ bis $x=4$ ergibt $78$.

Unser Mathe-Insider-Tipp für deinen MedAT

Insider-Tipp von Benjamin (MasterClass-Tutor)

Für den MedAT ist es entscheidend, die Rechenregeln und grundlegenden Integrationsmethoden gut zu beherrschen. Übe regelmäßig die Integration verschiedener Funktionen, insbesondere die Integration von Sinus- und Cosinus-Funktionen, da dies auch Bestandteil der MedAT-Aufgaben sein kann. Ein nützlicher Tipp ist es, sich mit der Umkehrung der Ableitung vertraut zu machen. Das Verständnis,…